Ingenio - I. Segunda semana.

Nivel 1º y 2º ESO.

1. Miguel sale de su casa con un montón de cromos y vuelve sin ninguno de ellos. Le preguntamos qué ha hecho con ellos y responde: "A cada amigo que me he encontrado le he dado la mitad de los cromos que tenía más uno". "¿Y a cuántos amigos te has encontrado?" Responde: "A seis". ¿Cuántos cromos tenía Miguel cuando salió de su casa?

Si al final se ha quedado sin cromos, significa que, al último (al sexto amigo) le ha tenido que dar los dos últimos cromos que tenía (tenía 2 y le da la mitad más uno: 1+1). Al anterior amigo (el quinto), para que le quedaran esos dos, le ha tenido que dar 4 cromos (así tenía 6 antes de encontrárselo y le ha dado la mitad más uno: 3+1=4 y le quedan esos 2). Con este razonamiento, "hacia atrás", fácilmente podemos ver que al cuarto amigo le dio 8 cromos, al tercero, 16 cromos; al segundo 32 cromos y al primero 64 cromos. Con lo que , al salir de casa tendría 126 cromos. Podéis comprobar que esta es la solución rehaciendo el proceso "hacia adelante".

2. Las nueve cifras de los tres números «abc», «def» y «ghi» son diferentes. El segundo es el doble del primero y el tercero es el triple del primero. Encuentra los tres números

Se trata de ir probando algunas posibilidades; pero es interesante descartar algunas posibilidades, por ejemplo, si los tres números son de 3 cifras, el pequeño no puede empezar por 4, 5, 6, 7, 8 ni 9, porque al calcular el doble y el triple el resultado no tiene sólo tres cifras. Hay varias posibilidades, algunas son: 219, 438 y 657; 327, 654 y 981; 273, 546 y 819; 192, 384 y 576. Además, aunque se supone, el enunciado no menciona que esas nueve cifras sean del 1 al 9, es decir, podemos utilizar el cero.

Nivel 3º y 4º ESO.

1. Un coche va por una carretera a velocidad constante. En un momento dado pasa por delante de una marca kilométrica que tiene un número de dos cifras. Después de una hora pasa por delante de otra marca que, curiosamente, tiene las mismas dos cifras pero en orden inverso. Su sorpresa es enorme cuando, después de otra hora, pasa por otra marca que tiene las mismas cifras separadas por un cero. ¿A qué velocidad circula el coche?

Según el enunciado, por ir a velocidad constante y por tardar lo mismo entre dos marcas kilométricas, es evidente que la distancia de la primera a la segunda y la de la segunda a la tercera debe ser la misma. Probando algunos números es fácil llegar a que los números en cuestión son: 16 la primera, 61 la segunda y 106 la tercera. Entre cada dos marcas hay 45 km y, como tarda 1 hora en recorrerlos, su velocidad es de 45 km/h.

2. ¿Cuántos números hay entre el 3000 y el 7500 que estén formados exclusivamente por cifras impares?

Entre 0 y 9 hay 5 cifras impares. Entre el 00 y el 99 hay 5·5 cifras impares (para el 1, 3, 5, 7, 9 de la primera cifra, hay otros cinco en la segunda cifra). Por tanto, entre el 000 y el 999 hay 5·5·5=125 números con cifras impares.
Así pues, entre el 3000 y el 3999 hay 125 números con todas sus cifras impares. Entre el 4000 y el 4999 no hay ninguno pues empiezan todos por una cifra par. Entre 5000 y 5999 habrá otros 125. Entre 6000 y 6999 no hay ninguno por empezar por una cifra par. Entre 7000 y 7500 habrá los 25 que emiezan por 71xx y los 25 que empiezan por 73xx. Así pues, en total, son 125+125+50=300 números.

Lógicamente cabía la posibilidad de escribirlos todos y contarlos, pero no es el propósito de estas actividades de ingenio. Sobre todo cuando veamos cifras "tan grandes" tenemos que pensar que habrá alguna forma de responder sin tener que contar todos los casos. Merece la pena el esfuerzo de pensarlo antes del esfuerzo de, mecánicamente, escribir tantos números.